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Éléments de l'algèbre géométrique
Interprétation des divers éléments d'une algèbre géométrique issue de l'espace vectoriel Euclidien 3D.
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Photographie, Géométrie, Contribution à la géométrie, Euclide (0323-0285 av. J.-C.), Géométrie euclidienne, Géométrie -- Fondements, Oxford (GB), University of Oxford -- Bibliothèques
Statue d'Euclide
Photographie de la Statue d'Euclide au Musée Universitaire d'Histoire Naturelle à 0xford (Angleterre). En grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (mort à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique, auteur des Éléments, qui sont considérés comme l'un des textes fondateurs des mathématiques. La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.
Cône de Lumière
Le cône de lumière de l'évènement e0. La flèche rose montre la dimension temporelle et les flèches grises, les dimensions spatiales. Un événement étant donné, l'ensemble des événements physiquement joignables dans le futur et de ceux du passé à partir desquels on pouvait joindre l'événement donné, forme un cône dans l'espace de Minkowski, appelé cône de lumière, et permettant des raisonnements purement géométriques par des dessins appelés diagrammes de Minkowski. Cet espace est pseudo-euclidien : bien que la métrique ne soit qu'une pseudo-métrique, les géodésiques y sont les droites, ce qui fait dire que cet espace est plat comme dans un espace euclidien. Les inégalités triangulaires qui y sont valables montrent qu'un segment est le chemin le plus long entre deux points, ce qui est une nette différence avec la géométrie euclidienne.
Droite d'Euler
En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre H, le centre de gravité ou isobarycentre G et le centre du cercle circonscrit \Omega sont alignés et ne sont pas confondus. On appelle droite d'Euler la droite passant par ces trois points. Traduction en français Christophe Catarina.
Droite d'Euler dans un triangle
En bleu : les hauteurs ; en orange : les médianes ; en vert : les médiatrices ; en rouge : la droite d'Euler. En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre H, le centre de gravité ou isobarycentre G et le centre du cercle circonscrit Omega sont alignés et ne sont pas confondus. On appelle droite d'Euler la droite passant par ces trois points.
Le théorème de Pythagore
Version géométrique du théorème de Pythagore, le théorème fondamental des espaces euclidiens : la somme des surfaces des deux carrés rose et bleu est égale à la surface du carré violet dont le côté est l'hypothénuse.
Orthogonalité dans l'espace de Minkowski
Orthogonalité dans l'espace de Minkowski pour une vitesse v=0. Dans la représentation qu'est un diagramme de Minkowski, l'orthogonalité minkowskienne possède une propriété que ne possède pas l'orthogonalité euclidienne : l'angle entre un vecteur et son orthogonal varie en fonction de l'inclinaison du vecteur (en géométrie euclidienne, l'angle est fixe et égal à 90°). Quand le vecteur est de « genre lumière », ce vecteur est alors son propre orthogonal : la ligne d'univers est contenue dans le plan de simultanéité. Pour un photon, le temps ne s'écoule pas quand il progresse sur sa ligne d'univers.
Projection orthogonale
La projection orthogonale est un type de perspective très utilisée en dessin (géométrie descriptive), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne varie pas avec la distance). De manière plus générale, en algèbre linéaire, une projection orthogonale est un projecteur tel que les deux sous-espaces sont orthogonaux. La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, ou plus généralement d'un point à un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type «moindres carrés». L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore, est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité.
Dessins et plans, Géométrie, Cercles, Cercles du triangle, Points (géométrie), Puissances, Puissances (algèbre)
Puissance d'un point
En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point P par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de P par rapport à ce cercle.
Dessins et plans, Géométrie, Cercles, Cercles du triangle, Points (géométrie), Puissances, Puissances (algèbre)
Puissance d'un point
Détermination de la valeur algébrique de la puissance d'un point extérieur à un cercle. En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point P par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de P par rapport à ce cercle.
Dessins et plans, Géométrie, Pizzas, Aires (surfaces), Aires (surfaces) -- Mesure, Théorèmes -- Démonstration automatique, Théorèmes -- Preuve automatique
Théorème de la pizza en huit parts
En géométrie euclidienne, le théorème de la pizza donne une égalité ou une inégalité d'aires lors de la partition d'un disque par des droites concourantes. Il porte ce nom en raison d'une forte analogie avec la technique usuelle de découpage d'une pizza. Exemple avec huit parts : aire jaune = aire violette. Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_pizza.
Dessins et plans, Géométrie, Astronomie, Claude Ptolémée (0100?-0170?), Cercles, Cercles du triangle, Mathématiciens grecs
Théorème de Ptolémée
Quadrilatère illustrant le théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne. Il décrit une relation algébrique entre les longueurs des côtés et des diagonales d'un quadrilatère, équivalente à l'inscription du quadrilatère dans un cercle. L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie.
Théorème de Ptolémée
Preuve géométrique du théorème de Ptolémée. Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne. Il décrit une relation algébrique entre les longueurs des côtés et des diagonales d'un quadrilatère, équivalente à l'inscription du quadrilatère dans un cercle.
Théorème de Stewart
En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart est une généralisation du théorème de la médiane, due au mathématicien Matthew Stewart dans les années 1746 : Théorème — Soit p une cévienne d'un triangle ABC divisant en X le côté a en deux parties x et y. On a alors la relation suivante : acdot (xy+p^{2}) = xcdot b^{2}+ycdot c^{2}. Matthew Stewart est un mathématicien écossais (1717-1785) reconnu comme un mathématicien important après la publication de son "General Theorems", en 1746.
Théorème spectral
Représentation de la sphère unité en dimension trois pour deux distances euclidiennes. La sphère rouge représente la sphère unité pour la première forme, la figure bleue représente la sphère unité pour la deuxième forme dans la mesure où celle-ci est définie positive. La figure bleue est un ellipsoïde dont les axes sont orthogonaux pour la première forme. La distance d'origine est définie par la sphère rouge et celle de la quadrique associée à Ψ, par l'ellipsoïde bleu. Il existe alors une base qui respecte l'orthogonalité des deux formes quadratiques. Si l'orthogonalité est respectée, il n'en est pas de même pour les longueurs. Ainsi, le vecteur unitaire de l'axe des x pour la distance originale (en rouge) est de longueur plus petite pour la nouvelle distance (en bleu), d'où la nécessité d'un coefficient s1 pour passer d'une distance à l'autre.
Un triangle sur un globe
Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle n'est pas égale à 180° : une sphère n'est pas un espace euclidien. Par contre, les lois de la géométrie euclidienne sont de bonnes approximations locales. Pour un petit triangle sur la surface de la Terre, la somme des angles est proche de 180°.